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统计学中的Z值

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在统计结果中经常出现的Z值是个什么东西？

标准分数（Standard Score，又称z-score，中文称为Z-分数或标准化值）在统计学中是一种无因次值，就是一种纯数字标记，是借由从单一（原始）分数中减去母体的平均值，再依照母体（母集合）的标准差分割成不同的差距，按照z值公式，各个样本在经过转换后，通常在正、负五到六之间不等。来源

Z值的计算公式为：$$z=\frac{(x-\mu)}{\sigma}$$，其中：x为某一特征值；$\mu$为总体均值；$\sigma$为总体标准差。在实际中都是通过抽样来估计总体，则Z值的计算公式为：$$z=\frac{(x-\frac{}{x})}{s}$$ 其中：x为某一特征值；$\frac{}{x}$为样本均值；s为样本的标准差。

练习：继续以统计学与pandas学习（三） 中学生期末考试成绩为例。30号同学成绩分别为：语文75、数学74、英语77.5、物理75、化学66、政治93、总分460.5。通过Z值的计算就可以看出该学生的成绩距离均值的程度，也可以看出哪个成绩相对更好一些。

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import pandas as pd
from scipy.stats import norm

df = pd.read_excel('201706.xls',index_col=0)
cdf_chinese = norm.cdf ((75-df['chinese'].mean())/df['chinese'].std())
cdf_math = norm.cdf ((74-df['math'].mean())/df['math'].std())
cdf_english = norm.cdf ((77.5-df['english'].mean())/df['english'].std())
cdf_physics = norm.cdf ((75-df['physics'].mean())/df['physics'].std())
cdf_chemistry = norm.cdf ((66-df['chemistry'].mean())/df['chemistry'].std())
cdf_politics = norm.cdf ((93-df['politics'].mean())/df['politics'].std())
cdf_total = norm.cdf ((460.5-df['total'].mean())/df['total'].std())
print('语文：',cdf_chinese,'数学：',cdf_math,'英语：',cdf_english,'物理：',cdf_physics,'化学：',cdf_chemistry,'政治：',cdf_politics,'总分：',cdf_total)

输出：

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语文： 0.512762574277   # 超过班内51.28%的学生
数学： 0.576380249822   # 超过班内57.64%的学生
英语： 0.671241471981   # 超过班内67.12%的学生
物理： 0.700283612352   # 超过班内70%的学生
化学： 0.669569880727   # 超过班内66.96%的学生
政治： 0.779138294084   # 超过班内77.91%的学生
总分： 0.669346076075   # 超过班内66.93%的学生

Z值的计算，也可以使用scipy.stats.mstats.zscore，如：
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from scipy import stats
norm.cdf(stats.zscore(df['chinese']))

结果：
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array([  8.96025975e-01,   8.65604972e-01,   8.48299141e-01,
         9.49773804e-01,   8.65604972e-01,   8.65604972e-01,
         8.29572844e-01,   6.88765709e-01,   7.40772681e-01,
         8.29572844e-01,   6.61173316e-01,   7.87884941e-01,
         7.40772681e-01,   7.87884941e-01,   7.15336201e-01,
         7.40772681e-01,   7.87884941e-01,   4.82270298e-01,
         7.40772681e-01,   7.40772681e-01,   8.29572844e-01,
         6.61173316e-01,   5.73622936e-01,   7.87884941e-01,
         6.03452153e-01,   6.88765709e-01,   6.61173316e-01,
         6.88765709e-01,   4.82270298e-01,   5.12856042e-01,
         7.64980832e-01,   3.91843157e-01,   7.87884941e-01,
         7.15336201e-01,   6.32687652e-01,   6.32687652e-01,
         4.82270298e-01,   7.15336201e-01,   5.43366317e-01,
         3.34364528e-01,   6.61173316e-01,   6.61173316e-01,
         3.34364528e-01,   5.73622936e-01,   4.21588634e-01,
         7.87884941e-01,   3.34364528e-01,   6.32687652e-01,
         4.21588634e-01,   3.62717037e-01,   4.82270298e-01,
         3.52826712e-02,   1.87265855e-01,   2.55283562e-01,
         3.91843157e-01,   9.51160910e-03,   4.21588634e-01,
         2.97181714e-02,   5.12856042e-01,   3.34364528e-01,
         1.01783707e-01,   1.87265855e-01,   4.16744340e-02,
         1.31766684e-01,   1.67346517e-01,   1.98788044e-05,
         1.42005497e-02,   1.48846960e-01,   4.89734172e-02])