第十九章《即使未知总体均值仍能推算总体方差——总体均值未知时对正态母群体进行区间估计》。
摘要
- 未知总体均值推算总体方差
已知95%预测命中区间，所以可以据此进行总体方差的区间估计，操作步骤：- 首先从n个观测数据计算样本均值$\frac{}{x}$。
其次使用它作偏差，将其平方再除以n，计算样本方差$s^2$。 - 样本方差$s^2$乘以n除以总体方差$\sigma^2$作统计量W。
- 确认自由度（n-1）的95%预测命中区间。
- 保留能使W进入步骤3的区间内的$\sigma^2$，舍掉不能的$\sigma^2$，求总体方差$\sigma^2$的95%置信区间。
- 首先从n个观测数据计算样本均值$\frac{}{x}$。
- 估计总体方差的具体例子
某蝴蝶体长为正态母群体。观测的5个个体体长为76mm、85mm、82mm、80mm、77mm时，求总体方差$\sigma^2$的95%置信区间。- $\frac{}{x}=\frac{76+85+82+80+77}{5}=80$
$s^2=\frac{16+25+4+0+9}{5}=10.8$ - $W=\frac{ns^2}{\sigma^2}=\frac{54}{\sigma^2}$
- 根据17章图，自由度（5-1）=4卡方分布的95%预测命中区间为0.4844～11.1433
- 解不等式$0.4844\leq\frac{54}{\sigma^2}\leq11.1433$得$4.85\leq\sigma^2\leq111.48$，其标准差$sqrt{4.85}\leq\sigma^2\leq\sqrt{111.48}$，结果为$2.2\leq\sigma\leq10.6$。
- $\frac{}{x}=\frac{76+85+82+80+77}{5}=80$
练习
某蝴蝶体长是正态母群体。观测到的4个个体体长为76mm、77mm、83mm、84mm。此时，求总体方差$\sigma^2$的95%置信区间。
- 样本均值为80
- $s^2=\frac{16+9+9+16}{4}=12.5$
- $W=\frac{ns^2}{\sigma^2}=\frac{50}{\sigma^2}$
- W是自由度3的卡方分布，所以球满足$0.2157\leq\frac{50}{\sigma^2}\leq 9.3484$的$\sigma^2$
- 解得$5.34\leq\sigma^2\leq 231.8$