第十八章《样本方差呈卡方分布——与样本方差成正比的统计量W的做法》。
摘要
- 与样本方差成正比的统计量W的做法
将上一章中V公式的总体均值（$\mu$）替换为样本均值（$\frac{}{x}$）
W=[（样本）-（样本均值）]的平方 / （总体方差）的和
$$=\frac{(x_1-\frac{}{x})^2}{\sigma^2}+\frac{(x_2-\frac{}{x})^2}{\sigma^2}+…+\frac{(x_n-\frac{}{x})^2}{\sigma^2}…（1）$$
将V作成另外的统计量W，实际上，这个W也是卡方分布。样本方差：
$$ s^2=\frac{(x_1-\frac{}{x})^2+(x_2-\frac{}{x})^2+…+(x_n-\frac{}{x})^2}{n} …（2）$$
因此将样本方差$s^2$乘以数据数n=将W乘以总体方差$\sigma^2$
$$n\times s^2=\sigma^2\times W$$
所以，样本方差和W的关系式：- $样本方差s^2=W\times (总体方差\sigma^2)\div n$;
- $W=(样本方差s^2)\times n\div (总体方差\sigma^2)$
- 样本方差的卡方分布自由度下降1
虽然W也呈卡方分布，但自由度不是数据数，是“数据数减去1”，这与V不同。总结法则为：
由一般正态母群体作卡方分布W的方法：
$$W=[(样本)-(样本均值)]的平方\div (总体方差)的和$$
$$=\frac{(x_1-\frac{}{x})^2}{\sigma^2}+\frac{(x_2-\frac{}{x})^2}{\sigma^2}+…+\frac{(x_n-\frac{}{x})^2}{\sigma^2}$$
W是呈自由度（n-1）卡方分布的统计量。
由一般正态母群体的样本方差作卡方分布W的方法：
从总体均值$\mu$、总体标准差$\sigma$的正态母群体观测n个样本计算所得的样本方差为$s^2$时，
$$作W=（样本方差s^2）\times n \div （总体方差\sigma^2），得W是自由度（n-1）卡方分布的统计量。$$
样本方差($s^2)与W的关系式
$$\frac{(ns^2)}{\sigma^2}=W即\frac{(数据数)\times (样本方差)}{总体方差}=W$$ - 例题
从正态母群体观测的样本是1、5、7、9、13.计算此时的统计量W。另外，它是什么样分布中的数据。
解答：
$$\frac{}{x}=\frac{1+5+7+9+13}{5}=7$$
$$s^2=\frac{36+4+0+4+36}{5}=\frac{80}{5}=16$$
因此
$$W=\frac{ns^2}{\sigma^2}=\frac{80}{\sigma^2}$$
这是自由度（5-1）=4的卡方分布
练习
从正态母群体中抽取4个数据，3、9、11、17.
此时，样本均值$\frac{}{x}=(10)$
样本方差$s^2=\frac{100}{4}=(25)$
样本标准差$s=\sqrt{25}=5$
使用总体方差$\sigma^2$计算W
$$W=\frac{ns^2}{\sigma^2}=\frac{100}{\sigma^2}$$
这个W是自由度为3的卡方分布的数据。